Chọn phương án D.

Giả sử $z=x+yi$ ($x,\,y\in\mathbb{R}$). Ta có $$\begin{aligned}
w&=\sqrt{x^2+y^2}-\dfrac{1}{(x-1)+yi}=\sqrt{x^2+y^2}-\dfrac{(x-1)-yi}{(x-1)^2+y^2}\\
&=\sqrt{x^2+y^2}-\dfrac{x-1}{(x-1)^2+y^2}+\dfrac{y}{(x-1)^2+y^2}i.
\end{aligned}$$
Theo đề bài thì $$\begin{aligned}
\dfrac{y}{(x-1)^2+y^2}=\dfrac{1}{4}&\Leftrightarrow(x-1)^2+y^2=4y\\
&\Leftrightarrow(x-1)^2+(y-2)^2=4.
\end{aligned}$$
Vậy tập hợp $S$ là một đường tròn tâm $I(1;2)$ bán kính $R=2$.

Gọi $A,\,B$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $z_1,\,z_2$. Ta có $\left|z_1-z_2\right|=AB=3$.

Gọi $M$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{MB}$. Vậy $M$ là điểm trên đoạn $AB$ sao cho $MA=2MB$. Khi đó $$\begin{aligned}
\left|z_1+2z_2\right|&=\left|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\right|=\left|\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}\right)+2\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OB}\right)\right|\\
&=\left|3\overrightarrow{OM}+\left(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\right)\right|=\left|3\overrightarrow{OM}\right|=3OM.
\end{aligned}$$
Vậy $\left|z_1+2z_2\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $OM$ ngắn nhất.

Gọi $H$ là trung điểm của đoạn $AB$, ta có $$IH^2=IB^2-HB^2=2^2-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{7}{4}.$$
Lại có $HM=HB-MB=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}$.

Suy ra $IM=\sqrt{IH^2+HM^2}=\sqrt{\dfrac{7}{4}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{2}$.

Vậy quỹ tích của điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $r=\sqrt{2}$.

Khi đó $\begin{cases}
OM_{\max}=IO+IM=\sqrt{5}+\sqrt{2}\\
OM_{\min}=\left|IO-IM\right|=\sqrt{5}-\sqrt{2}.
\end{cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left|z_1+2z_2\right|$ là $3\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)$.