Ngân hàng bài tập
SS
Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm liên tục có tích phân trên $[0;2]$ thỏa điều kiện $f\left(x^2\right)=6x^4+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}xf(x)\mathrm{\,d}x$. Tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x$.
 | $I=-8$ |
 | $I=-24$ |
 | $I=-32$ |
 | $I=-6$ |
1 lời giải
Chọn phương án C.
Đặt $m=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}xf(x)\mathrm{\,d}x$, ta có $f\left(x^2\right)=6x^4+m$. Suy ra $f(x)=6x^2+m$. Khi đó
$$\begin{aligned}
m&=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}x\left(6x^2+m\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(6x^3+mx\right)\mathrm{\,d}x\\
&=\left(\dfrac{3}{2}x^4+\dfrac{m}{2}x^2\right)\bigg|_0^2=24+2m.\\
\Leftrightarrow m&=-24.
\end{aligned}$$
Suy ra $f(x)=6x^2-24$. Vậy $I=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(6x^2-24\right)\mathrm{\,d}x=-32$.