Tính thể tích $V$ của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0,\,x=\pi$. Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\,(0\leq x\leq\pi)$ là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $\sin x+2$.
 | $\dfrac{7\pi}{6}+1$ |
 | $\dfrac{9\pi}{8}+1$ |
 | $\dfrac{7\pi}{6}+2$ |
 | $\dfrac{9\pi}{8}+2$ |
Chọn phương án D.
Thiết diện là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng $\dfrac{\sin x+2}{\sqrt{2}}$ nên có diện tích là $S(x)=\dfrac{1}{4}(\sin x+2)^2$.
Khi đó vật thể đã cho có thể tích bằng $$\begin{aligned}
V&=\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}S(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}(\sin x+2)^2\mathrm{\,d}x\\
&=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\big(\sin^2x+4\sin x+4\big)\mathrm{\,d}x\\
&=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\left(\dfrac{1-\cos2x}{2}+4\sin x+4\right)\mathrm{\,d}x\\
&=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{9x}{2}-\dfrac{\sin2x}{4}-4\cos x\right)\bigg|_0^\pi\\
&=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{9\pi}{2}+8\right)=\dfrac{9\pi}{8}+2.
\end{aligned}$$