Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;1;0)$, $B(0;2;1)$, $C(1;3;-1)$. Điểm $M(a;b;c)\in(Oxy)$ sao cho $\big|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\big|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng?
 | $a+b+c=3$ |
 | $a+b+c=-3$ |
 | $a+b+c=-4$ |
 | $a+b+c=10$ |
Chọn phương án C.
Chọn điểm $I(x;y;z)$ sao cho $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$. Khi đó $$\begin{aligned}
\big|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\big|^2&=\big(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\big)^2\\
&=\left(2\big(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\big)+3\big(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\big)-4\big(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\big)\right)^2\\
&=\left(\overrightarrow{MI}+\big(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-4\overrightarrow{IC}\big)\right)^2\\
&=\overrightarrow{MI}^2=MI^2\\
\Rightarrow\big|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\big|&=MI.
\end{aligned}$$
Để $\big|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\big|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $MI$ đạt giá trị nhỏ nhất, tức là $M$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$.
- $\overrightarrow{AI}=(x-2;y-1;z)$ $\Rightarrow2\overrightarrow{AI}=(2x-4;2y-2;2z)$.
- $\overrightarrow{BI}=(x;y-2;z-1)$ $\Rightarrow3\overrightarrow{BI}=(3x;3y-6;3z-3)$.
- $\overrightarrow{CI}=(x-1;y-3;z+1)$ $\Rightarrow-4\overrightarrow{CI}=(-4x+4;-4y+12;-4z-4)$.
$\begin{aligned}
2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}&\Leftrightarrow2\overrightarrow{AI}+3\overrightarrow{BI}-4\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{0}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
2x-4+3x-4x+4=0\\
2y-2+3y-6-4y+12=0\\
2z+3z-3-4z-4=0
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
x=0\\ y=-4\\ z=7.
\end{cases}
\end{aligned}$
Vậy $I(0;-4;7)$. Suy ra $M(0;-4;0)$. Do đó $a+b+c=-4$.