Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P)\colon mx+2y+nz+1=0$ và $(Q)\colon x-my+nz+2=0$ $(m,\,n\in\mathbb{R})$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)\colon 4x-y-6z+3=0$. Tính $m+n$.
 | $m+n=0$ |
 | $m+n=2$ |
 | $m+n=1$ |
 | $m+n=3$ |
Chọn phương án D.
Các mặt phẳng $(P),\,(Q)$ và $(\alpha)$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{u}=(m;2;n)$, $\overrightarrow{v}=(1;-m;n)$ và $\overrightarrow{w}=(4;-1;-6)$.
Theo yêu cầu đề bài thì $$\begin{aligned}
\begin{cases}
(P)\perp(\alpha)\\ (Q)\perp(\alpha)
\end{cases}&\Leftrightarrow\begin{cases}
\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{w}\\ \overrightarrow{v}\perp\overrightarrow{w}
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}=0\\ \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=0
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
4m-2-6n=0\\ 4+m-6n=0
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
4m-6n=2\\ m-6n=-4
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
m=2\\ n=1.
\end{cases}
\end{aligned}$$
Vậy $m+n=2+1=3$.