Ngân hàng bài tập
S
Cho tích phân \(\displaystyle\int\limits_2^3{\dfrac{1}{x^3+x^2}\mathrm{\,d}x}=a\ln3+b\ln2+c\), với \(a,\,b,\,c\in\mathbb{Q}\). Tính \(S=a+b+c\).
 | \(S=-\dfrac{2}{3}\) |
 | \(S=-\dfrac{7}{6}\) |
 | \(S=\dfrac{2}{3}\) |
 | \(S=\dfrac{7}{6}\) |
1 lời giải
Chọn phương án D.
Ta có: \(\dfrac{1}{x^3+x^2}=\dfrac{1}{x^2(x+1)}\).
Giả sử: \(\dfrac{1}{x^2(x+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x+1}\).
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2(x+1)}=\dfrac{(A+C)x^2+(A+B)x+B}{x^2(x+1)}\).
Đồng nhất 2 vế, ta được $$\begin{cases}A + C=0\\ A + B=0\\ B=1\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}A=-1\\ B=1\\ C=1.\end{cases}$$
Khi đó: $$\begin{aligned}\displaystyle\int\limits_2^3\dfrac{1}{x^3 + x^2}\mathrm{\,d}x&=\displaystyle\int\limits_2^3{\left(- \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x+1}\right)\mathrm{\,d}x}\\
&=\left(-\ln|x|-\dfrac{1}{x}+\ln|x+1|\right)\bigg|_2^3\\
&=-2\ln3+3\ln2+\dfrac{1}{6}.\end{aligned}$$
Theo đó \(a=-2,\,b=3,\,c=\dfrac{1}{6}\).
Suy ra \(S=a+b+c=-2+3+\dfrac{1}{6}=\dfrac{7}{6}\).