Chọn phương án C.

Gọi $O$ là tâm đường tròn đáy, ta có chiều cao hình nó là $SO=3a$.

Gọi $H$ là trung điểm $AB$, ta có $OH\perp AB$ và $AH=3a\sqrt{3}$.

Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ trên $SH$, ta có $$d\left(O,\left(P\right)\right)=OK=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}.$$

Xét tam giác vuông $SOH$ ta có $$\begin{aligned}
\dfrac{1}{OK^2}&=\dfrac{1}{OS^2}+\dfrac{1}{OH^2}\\
\Rightarrow\dfrac{1}{OH^2}&=\dfrac{1}{OK^2}-\dfrac{1}{OS^2}\\
&=\dfrac{2}{9a^2}-\dfrac{1}{9a^2}=\dfrac{1}{9a^2}\\
\Rightarrow OH&=3a.
\end{aligned}$$
Bán kính đường tròn đáy là $$r=OA=\sqrt{OH^2+AH^2}=\sqrt{9a^2+27a^2}=6a.$$
Vậy thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi\left(6a\right)^2\cdot3a=36\pi{a^3}$.