Chọn phương án D.

Xét hình nón đỉnh $S$, tâm đáy $O$, thiết diện là tam giác đều $SAB$ với $H$ là trung điểm $AB$, khi đó $$\widehat{SHO}=60^\circ\Rightarrow SH=4a\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2a\sqrt{3}$$
Tam giác $SOH$ vuông tại $O$ nên $$OH=SH\cdot\cos\widehat{SHO}=2a\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{2}=a\sqrt{3}.$$
Tam giác $OAH$ vuông tại $H$ nên $$OA=\sqrt{OH^2+HA^2}=\sqrt{\left(a\sqrt{3}\right)^2+(2a)^2}=a\sqrt{7}.$$
Do đó diện tích xung quanh của $(X)$ là $$S_{xq}=\pi r\ell=\pi\cdot OA\cdot SA=\pi\cdot a\sqrt{7}\cdot4a=4\sqrt{7}\pi a^2.$$