Ngân hàng bài tập
SS
Cho hàm số $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ với $a,\,b,\,c$ là các số thực. Biết hàm số $g(x)=f(x)+f'(x)+f''(x)$ có hai giá trị cực trị là $-3$ và $6$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f(x)}{g(x)+6}$ và $y=1$ bằng
 | $2\ln3$ |
 | $\ln3$ |
 | $\ln18$ |
 | $2\ln2$ |
1 lời giải
Chọn phương án D.
Ta có $f'(x)=3x^2+2ax+b$, $f''(x)=6x+2a$, $f'''(x)=6$.
Khi đó $g'(x)=f'(x)+f''(x)+f''(x)=f'(x)+f''(x)+6$.
Giả sử $g(x)$ có hai điểm cực trị $m,\,n$ với $\begin{cases}
g(m)=6\\ g(n)=-3.
\end{cases}$
Phương trình hoành độ giao điểm: $$\begin{aligned}
1=\dfrac{f(x)}{g(x)+6}&\Leftrightarrow\dfrac{g(x)+6-f(x)}{g(x)+6}=0\\
&\Leftrightarrow\dfrac{f'(x)+f''(x)+6}{g(x)+6}=0\Leftrightarrow\dfrac{g'(x)}{g(x)+6}=0\\
&\Rightarrow g'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=a\\ x=b\end{array}\right.
\end{aligned}$$
1=\dfrac{f(x)}{g(x)+6}&\Leftrightarrow\dfrac{g(x)+6-f(x)}{g(x)+6}=0\\
&\Leftrightarrow\dfrac{f'(x)+f''(x)+6}{g(x)+6}=0\Leftrightarrow\dfrac{g'(x)}{g(x)+6}=0\\
&\Rightarrow g'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=a\\ x=b\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Diện tích hình phẳng là $$\begin{aligned}
S&=\left|\int\limits_m^n\left(1-\dfrac{f(x)}{g(x)+6}\right)\mathrm{d}x\right|=\left|\int\limits_m^n \dfrac{g'(x)}{g(x)+6} \mathrm{d}x\right|\\
&=\left|\ln\big|g(x)+6\big|\bigg|_m^n\right|=\left|\ln3-\ln12 \right|=2\ln2.
\end{aligned}$$