Biết \(\displaystyle\int\limits_2^3\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-x+1}\mathrm{\,d}x=a\ln7+b\ln3+c\ln2+d\) (với \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) là các số nguyên). Tính giá trị của biểu thức \(T=a+2b^2+3c^3+4d^4\).
 | \(T=6\) |
 | \(T=7\) |
 | \(T=9\) |
 | \(T=5\) |
Chọn phương án D.
Đặt $A=\displaystyle\int\limits_2^3\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-x+1}\mathrm{\,d}x$ ta được $$A-d=\ln7^a3^b2^c\Leftrightarrow\mathrm{e}^{A-d}=7^a3^b2^c.$$
Vì $a,\,b,\,c\in\mathbb{Z}$ nên $7^a3^b2^c\in\mathbb{Q}$. Ta khảo sát hàm số $f(x)=\mathrm{e}^{A-x}$ với $x\in\mathbb{Z}$ bằng chức năng TABLE của máy tính cầm tay.
- Gán giá trị $\displaystyle\int\limits_2^3\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-x+1}\mathrm{\,d}x$ vào biến nhớ A.
- Nhập hàm số $f(x)=\mathrm{e}^{A-x}$.
- Chọn Start=-10, End=10 và Step=1.
- Tìm giá trị $f(x)\in\mathbb{Q}$.
Vì $\dfrac{3}{7}=7^{-1}\cdot3^1\cdot2^0$ nên $a=-1$, $b=1$ và $c=0$. Tương ứng với đó là $d=1$.
Vậy $T=a+2b^2+3c^3+4d^4=-1+2+0+4=5$.
Chọn phương án D.
\(\begin{aligned}\displaystyle\int\limits_2^3\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-x+1}\mathrm{\,d}x&=\displaystyle\int\limits_2^3\left(1-\dfrac{2x-1}{x^2-x+1}\right)\mathrm{\,d}x\\
&=\left(x-\ln\left|x^2-x+1\right|\right)\bigg|_2^3\\
&=1-\ln7+\ln3.\end{aligned}\)
Theo đó \(a=-1,\,b=1,\,c=0,\,d=1\).
Suy ra \(T=5\).