Chọn phương án A.

Xét $h(x)=\left|x^3+5x\right|$ ta có

Vậy $h(x)=\left|x^3+5x\right|$ đạt cực tiểu tại $x=0$.

Hàm số $g(x)=f(h(x)+m)$ có $g'(x)=h'(x)\cdot f'\left(h(x)+m\right)$.

Để $g(x)$ có ít nhất $3$ điểm cực trị thì phương trình $f'\big(h(x)+m\big)$ có ít nhất $2$ nghiệm khác $0$.
$$\begin{aligned}f'\big(h(x)+m\big)=0&\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&h(x)+m=7\\ &h(x)+m=3\\ &h(x)+m=-3\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&h(x)=7-m\\ &h(x)=3-m\\ &h(x)=-3-m\end{aligned}\right.\end{aligned}$$
Từ bảng biến thiên của $h(x)$ ta thấy phương trình $f'\big(h(x)+m\big)$ có ít nhất $2$ nghiệm khác $0$ khi $7-m>0\Leftrightarrow m<7$.

Vì $m$ nguyên dương nên $m\in\{1;2;3;4;5;6\}$.