Cho \(f,\,g\) là hai hàm số liên tục trên \([1;3]\) thỏa mãn điều kiện \(\displaystyle\int\limits_1^3\left[f(x)+3g(x)\right]\mathrm{\,d}x=10\) đồng thời \(\displaystyle\int\limits_1^3\left[2f(x)-g(x)\right]\mathrm{\,d}x=6\). Tính \(\displaystyle\int\limits_1^3\left[f(x)+g(x)\right]\mathrm{\,d}x\).
 | \(9\) |
 | \(6\) |
 | \(7\) |
 | \(8\) |
Chọn phương án B.
Đặt \(A=\displaystyle\int\limits_1^3f(x)\mathrm{\,d}x\), \(B=\displaystyle\int\limits_1^3g(x)\mathrm{\,d}x\).
Theo bài ra ta có hệ $$\begin{aligned}&\begin{cases}\displaystyle\int\limits_1^3f(x)\mathrm{\,d}x+3\displaystyle\int\limits_1^3g(x)\mathrm{\,d}x=10\\ 2\displaystyle\int\limits_1^3f(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_1^3g(x)\mathrm{\,d}x=6\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}A+3B=10\\ 2A-B=6\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}A=4\\ B=2.\end{cases}\end{aligned}$$
\(\begin{aligned}\text{Vậy }\displaystyle\int\limits_1^3\left[f(x)+g(x)\right]\mathrm{\,d}x&=\displaystyle\int\limits_1^3f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_1^3g(x)\mathrm{\,d}x\\
&=A+B=6.\end{aligned}\)