Chọn phương án A.

• $\left(3+\sqrt{8}\right)\left(3-\sqrt{8}\right)=1\Rightarrow3-\sqrt{8}=\dfrac{1}{3+\sqrt{8}}$.
• $17-12\sqrt{2}=\left(3-2\sqrt{2}\right)^2=\left(3-\sqrt{8}\right)^2$.

Vậy bất phương trình đã cho tương đương với
\begin{eqnarray*}
&\left(3-\sqrt{8}\right)^{2x}&\geq\left(3+\sqrt{8}\right)^{x^2}\\
\Leftrightarrow&\left(\dfrac{1}{3+\sqrt{8}}\right)^{2x}&\geq\left(3+\sqrt{8}\right)^{x^2}\\
\Leftrightarrow&1&\geq\left(3+\sqrt{8}\right)^{x^2+2x}\\
\Leftrightarrow&0&\geq x^2+2x\\
\Leftrightarrow&x&\in[-2;0].
\end{eqnarray*}
Vậy bất phương trình đã cho có $3$ nghiệm nguyên là $-2$, $-1$, $0$.