Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=\sqrt{6}$, $AD=\sqrt{3}$, $A'C=3$ và mặt phẳng $\left(AA'C'C\right)$ vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng $\left(AA'C'C\right)$, $\left(AA'B'B\right)$ tạo với nhau góc $\alpha$ thỏa mãn $\tan\alpha =\dfrac{3}{4}$. Thể tích khối lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ bằng
 | $V=6$ |
 | $V=8$ |
 | $V=12$ |
 | $V=10$ |
Chọn phương án B.
Đặt hình lăng trụ vào hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A\equiv O(0;0;0)$, $B\in Ox$, $D\in Oy$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A'$ trên mặt phẳng $(ABCD)$. Vì $(AA'C'C)\perp(ABCD)$ nên $A'H\perp AC$, tức là $H\in AC$.
Ta có $B\big(\sqrt{6};0;0\big)$, $D\big(0;\sqrt{3};0\big)$, $C\big(\sqrt{6};\sqrt{3};0\big)$.
Đường thẳng $AC$ đi qua $A(0;0;0)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\sqrt{3}\overrightarrow{AC}=\big(\sqrt{2};1;0\big)$ làm vectơ chỉ phương. Vậy $AC\colon\begin{cases}
x=\sqrt{2}t\\ y=t\\ z=0.
\end{cases}$
Vì $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=3=A'C$ nên $\triangle AA'C$ không phải là tam giác vuông.
- Vì $H\in AC$ nên $H\big(\sqrt{2}t;t;0\big)$ với $t>0$.
- Vì $H$ là hình chiếu vuông góc của $A'$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ nên $A'\big(\sqrt{2}t;t;z\big)$ với $z>0$.
$\bullet$ Ta có $\begin{cases}
\overrightarrow{AC}=\big(\sqrt{6};\sqrt{3};0\big)\\ \overrightarrow{HA'}=(0;0;z)
\end{cases}$. Suy ra $\big[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{HA'}\big]=\big(\sqrt{3}z;-\sqrt{6}z;0\big)$. Vậy $\overrightarrow{m}=\big(1;-\sqrt{2};0\big)$ là vectơ pháp tuyến của $(AA'C'C)$.
$\bullet$ Ta có $\begin{cases}
\overrightarrow{AB}=\big(\sqrt{6};0;0\big)\\ \overrightarrow{AA'}=\big(\sqrt{2}t;t;z\big)
\end{cases}$. Suy ra $\big[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AA'}\big]=\big(0;-\sqrt{6}z;\sqrt{6}t\big)$. Vậy $\overrightarrow{n}=(0;-z;t)$ là vectơ pháp tuyến của $(AA'B'B)$.
\cos\alpha=\sqrt{\dfrac{1}{1+\tan^2\alpha}}=\dfrac{4}{5}&\Leftrightarrow\dfrac{\big|\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}\big|}{\big|\overrightarrow{m}\big|\cdot\big|\overrightarrow{n}\big|}=\dfrac{4}{5}\\
&\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{2}z}{\sqrt{3}\sqrt{z^2+t^2}}=\dfrac{4}{5}\\
&\Leftrightarrow\dfrac{2z^2}{3\big(z^2+t^2\big)}=\dfrac{16}{25}\\
&\Leftrightarrow25z^2=24\big(z^2+t^2\big)\\
&\Leftrightarrow z^2=24t^2\\
&\Leftrightarrow z=2\sqrt{6}t.
\end{aligned}$$
Khi đó $\overrightarrow{A'C}=\big(\sqrt{2}t-\sqrt{6};t-\sqrt{3};2\sqrt{6}t\big)$. Vì $A'C=3$ nên $$\begin{aligned}
A'C^2=9&\Leftrightarrow\big(\sqrt{2}t-\sqrt{6}\big)^2+\big(t-\sqrt{3}\big)^2+\big(2\sqrt{6}t\big)^2=9\\
&\Leftrightarrow9t^2-2\sqrt{3}t=0\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}t=0 &\text{(loại)}\\ t=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Vậy $A'H=z=2\sqrt{6}\cdot\dfrac{2\sqrt{3}}{9}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$.
Do đó, $V_{ABCD.A'B'C'D'}=S_{ABCD}\cdot A'H=\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}\cdot\dfrac{4\sqrt{2}}{3}=8$.