Chọn phương án A.

Ta có $\Delta'=(2m+1)^2-4m^2=4m+1$.

$\blacksquare$ Nếu $\Delta'\geq0\Leftrightarrow4m+1\geq0\Leftrightarrow m\geq-\dfrac{1}{4}$.

• Với $z_0=1$, phương trình trở thành $$\begin{aligned}1^2-2(2m+1)+4m^2=0&\Leftrightarrow4m^2-4m-1=0\\ &\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}m=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2} &\text{(nhận)}\\ m=\dfrac{1-\sqrt{2}}{2} &\text{(nhận)}\end{array}\right.\end{aligned}$$
• Với $z_0=-1$, phương trình trở thành $$\begin{aligned}(-1)^2+2(2m+1)+4m^2=0\Leftrightarrow&4m^2+4m+3=0\\ &\text{(vô nghiệm)}\end{aligned}$$

$\blacksquare$ Nếu $\Delta'<0\Leftrightarrow4m+1<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{1}{4}$. Phương trình có $2$ nghiệm phức là $z=2m+1\pm i\sqrt{-4m-1}$. Khi đó $$\begin{aligned}
\big|z_0\big|=1&\Leftrightarrow(2m+1)^2+(-4m-1)=1\\
&\Leftrightarrow4m^2-1=0\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}m=\dfrac{1}{2} &\text{(loại)}\\ m=-\dfrac{1}{2} &\text{(nhận)}\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Vậy có $3$ giá trị $m$ thỏa đề là $m=-\dfrac{1}{2}$, $m=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$ và $m=\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}$.