Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d\colon\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-5}{2}$ và mặt phẳng $(P)\colon2x+y+z-3=0$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;-1;3)$, cắt đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $(P)$ một góc $30^\circ$ có phương trình là
 | $\dfrac{x+2}{22}=\dfrac{y-1}{-13}=\dfrac{z+3}{8}$ |
 | $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$ |
 | $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
 | $\dfrac{x-2}{-11}=\dfrac{y+1}{5}=\dfrac{z-3}{2}$ |
Chọn phương án D.
Ta có $d\colon\begin{cases}
x=1+t\\ y=-1-t\\ z=5+2t
\end{cases}$. Giả sử $\Delta\cap d=B(1+t;-1-t;5+2t)$. Khi đó
- $\overrightarrow{AB}=(-1+t;-t;2+2t)$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$.
- $\overrightarrow{n}=(2;1;1)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$.
Theo đề bài thì $\big(\Delta,(P)\big)=30^\circ$, tức là $$\begin{aligned}
\sin\big(\Delta,(P)\big)=\dfrac{1}{2}&\Leftrightarrow\dfrac{\big|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n}\big|}{\big|\overrightarrow{AB}\big|\cdot\big|\overrightarrow{n}\big|}=\dfrac{1}{2}\\
&\Leftrightarrow\dfrac{|-2+2t-t+2+2t|}{\sqrt{(-1+t)^2+(-t)^2+(5+2t)^2}\cdot\sqrt{6}}=\dfrac{1}{2}\\
&\Leftrightarrow2|3t|=\sqrt{6}\cdot\sqrt{6t^2+6t+5}\\
&\Leftrightarrow6t^2=6t^2+6t+5\\
&\Leftrightarrow t=-\dfrac{5}{6}.
\end{aligned}$$
Vậy $\overrightarrow{AB}=\left(-\dfrac{11}{6};\dfrac{5}{6};\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{6}(-11;5;2)$.
Suy ra $\Delta\colon\dfrac{x-2}{-11}=\dfrac{y+1}{5}=\dfrac{z-3}{2}$.