Có bao nhiêu số nguyên $a\in(1;2022]$ sao cho tồn tại số thực $x$ thỏa mãn $\left(a^{\log_3x}-1\right)^{\log_3a}=x+1$?
 | $2018$ |
 | $2019$ |
 | $2020$ |
 | $1$ |
Chọn phương án B.
Điều kiện xác định: $x>0$.
Vì $a^{\log_bc}=c^{\log_ba}$ nên $$\left(a^{\log_3x}-1\right)^{\log_3a}=x+1\Leftrightarrow\left(x^{\log_3a}-1\right)^{\log_3a}=x+1\,\,(1)$$
Đặt $\log_3a=m$, phương trình (1) trở thành
$$\big(x^m-1\big)^m=x+1\Leftrightarrow\big(x^m-1\big)^m+\big(x^m-1\big)=x^m+x\,\,(2)$$
Ta có $f'(t)=m\cdot t^{m-1}+1>0,\,\forall t>0$. Vậy $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty)$.
Do đó, từ (2) suy ra $f\big(x^m-1\big)=f(x)\Leftrightarrow x^m-1=x\Leftrightarrow x^m=x+1$.
So sánh đồ thị hàm số $y=x^m$ và hàm số $y=x+1$, ta thấy chúng có giao điểm khi $m>1$. Khi đó $\log_3a>1\Leftrightarrow a>3$.
Vậy có $2019$ số nguyên $a$ thỏa đề là $a\in\{4;5;\ldots;2022\}$.