Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+(z-3)^2=8$ và hai điểm $A(4;4;3)$, $B(1;1;1)$. Gọi $\big(\mathscr{C}_1\big)$ là tập hợp các điểm $M\in(S)$ sao cho $|MA-2MB|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng $\big(\mathscr{C}_1\big)$ là một đường tròn có bán kính $R_1$. Tính $R_1$.
 | $\sqrt{7}$ |
 | $\sqrt{6}$ |
 | $2\sqrt{2}$ |
 | $\sqrt{3}$ |
Chọn phương án A.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;3)$ và bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Ta có $\overrightarrow{IA}=(4;4;0)$. Suy ra $IA=4\sqrt{2}=2R$.
\overrightarrow{MA}^2=4\overrightarrow{MC}^2&\Leftrightarrow\big(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\big)^2=4\big(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\big)^2\\
&\Leftrightarrow\overrightarrow{MI}^2+2\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MA}^2=4\overrightarrow{MI}^2+8\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{MC}+4\overrightarrow{MC}^2\\
&\Leftrightarrow3MI^2+2\overrightarrow{MI}\big(4\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IA}\big)+4IC^2-IA^2=0\,\,(*)
\end{aligned}$$
Chọn điểm $C$ sao cho $4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}$ ta có $IA^2=16IC^2$ và $IC=\dfrac{1}{4}IA=\sqrt{2}$.
Khi đó từ (*) suy ra $3MI^2-12IC^2=0\Leftrightarrow MI=2IC=2\sqrt{2}=R$.
Với $4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}$ ta cũng có $$\begin{aligned}
4\overrightarrow{OC}-4\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI}&\Leftrightarrow4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OI}\\
&\Leftrightarrow\overrightarrow{OC}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{OI}\\ &\qquad\quad\,=(1;1;3).
\end{aligned}$$
Ta có $|MA-2MB|=|2MC-2MB|=2|MC-MB|\geq0$.
Dấu "=" xảy ra khi $MC=MB$, tức là $M$ nằm trên mặt phẳng trung trực $(P)$ của đoạn thẳng $BC$.
Mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm $N(1;1;2)$ và nhận $\overrightarrow{BC}=(0;0;2)$ làm vectơ pháp tuyến. Ta có phương trình $(P)\colon z-2=0$.
Khi đó $\mathrm{d}\big(I,(P)\big)=1$. Suy ra $R_1=\sqrt{R^2-1^2}=\sqrt{7}$.