Chọn phương án D.

Đặt $h(x)=2f\big(x^2+x\big)-x^4-2x^3+x^2+2x$. Ta có $$\begin{aligned}
h'(x)&=2(2x+1)f'\big(x^2+x\big)-4x^3-6x^2+2x+2\\
&=2(2x+1)f'\big(x^2+x\big)-2(2x+1)\big(x^2+x-1\big)\\
&=2(2x+1)\big[f'\big(x^2+x\big)-\big(x^2+x-1\big)\big].
\end{aligned}$$
$\begin{aligned}
\text{Cho }h'(x)=0&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2x+1=0\\ f'\big(x^2+x\big)-\big(x^2+x-1\big)=0\end{array}\right.\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac{1}{2}\\ f'\big(x^2+x\big)=\big(x^2+x\big)-1\end{array}\right.
\end{aligned}$

Đặt $u=x^2-1$, ta có đồ thị của hai hàm số $y=f'(u)$ và $y=u-1$ như sau:

Theo đó thì $$\begin{aligned}
f'(u)=u-1&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}u=-2\\ u=0\\ u=2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x^2+x=-2\\ x^2+x=0\\ x^2+x=2\end{array}\right.\\ &\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm1\\ x=-2\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Vì $h(0)=2f(0)-0=0$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số $g(x)$ có $7$ điểm cực trị.