Chọn phương án B.

Ta có $y'=12x^2+2mx-3$.

Hàm số có $2$ điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $y'=0$ có $2$ nghiệm phân biệt, tức là $$\Delta'>0\Leftrightarrow m^2+36>0.$$
Vậy hàm số luôn có hai điểm cực trị $x_1,\,x_2$.

Khi đó, theo định lý Vi-ét ta có $\begin{cases}
x_1+x_2=-\dfrac{m}{6}\\ x_1\cdot x_2=-\dfrac{1}{4}.
\end{cases}$

Theo yêu cầu đề bài thì $$\begin{aligned}
x_1+4x_2=0&\Leftrightarrow x_1=-4x_2\\
&\Rightarrow-4x_2+x_2=-3x_2=-\dfrac{m}{6}\\
&\Rightarrow x_2=\dfrac{m}{18}\\
&\Rightarrow x_1x_2=-4x_2^2=-\dfrac{m^2}{81}=-\dfrac{1}{4}\\
&\Rightarrow m^2=\dfrac{81}{4}\Rightarrow m=\pm\dfrac{9}{2}.
\end{aligned}$$