Cho hàm số $y=x^4-2(m+1)x^2+m^2$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.
 | $m=-1$ |
 | $m=0$ |
 | $m=1$ |
 | $m>-1$ |
Chọn phương án B.
Ta có $y'=4x^3-4(m+1)x=4x\big(x^2-m-1\big)$.
Cho $y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m+1\end{array}\right.$
Để hàm số có $3$ điểm cực trị thì $m+1>0\Leftrightarrow m>-1$. Khi đó $3$ điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A\big(0;m^2\big)$, $B\left(\sqrt{m+1};-2m-1\right)$, $C\left(-\sqrt{m+1};-2m-1\right)$.
- $\overrightarrow{AB}=\left(\sqrt{m+1};-m^2-2m-1\right)$.
- $\overrightarrow{AC}=\left(-\sqrt{m+1};-m^2-2m-1\right)$.
Dễ thấy $\triangle ABC$ cân tại $A$. Ta cần tìm $m$ sao cho $AB\perp AC$. $$\begin{aligned}
AB\perp AC&\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\\
&\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\\
&\Leftrightarrow-(m+1)+\big(m^2+2m+1\big)^2=0\\
&\Leftrightarrow(m+1)\big(-1+(m+1)^3\big)=0\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}m=-1 &\text{(loại)}\\ m=0 &\text{(nhận)}\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm.