Cho hàm số $y=\dfrac{x^4}{4}-(3m+1)x^2+2(m+1)$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.
 | $m=-\dfrac{2}{3}$ |
 | $m=\dfrac{2}{3}$ |
 | $m=-\dfrac{1}{3}$ |
 | $m=\dfrac{1}{3}$ |
Chọn phương án D.
Ta có $y'=x^3-2(3m+1)x=x\big(x^2-2(3m+1)\big)$.
Cho $y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=2(3m+1)\end{array}\right.$
Để hàm số có $3$ điểm cực trị thì $2(3m+1)>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{3}$. Khi đó $3$ điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A\big(0;2(m+1)\big)$, $B\left(\sqrt{2(3m+1)};1-4m-9m^2\right)$, $C\left(-\sqrt{2(3m+1)};1-4m-9m^2\right)$.
Suy ra tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G\left(0;\dfrac{2(m+1)+2\big(1-4m-9m^2\big)}{3}\right)$.
Để $G\equiv O(0;0)$ thì $$2(m+1)+2\big(1-4m-9m^2\big)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}m=\dfrac{1}{3} &\text{(nhận)}\\ m=-\dfrac{2}{3} &\text{(loại)}\end{array}\right.$$
Vậy $m=\dfrac{1}{3}$ là giá trị cần tìm.