Chọn phương án A.

Dựa vào đồ thị $y=f(x)$ ta thấy: $$f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}
x=a &\in\left(-\infty;0\right)\\
x=b &\in\left(0;4\right)\\
x=c &\in\left(4;+\infty\right)
\end{array}\right.$$

Ta có $g'(x)=2xf'\left(x^2\right)$. Khi đó: $$g'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=0\\
f'\left(x^2\right)=0
\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}
x=0\\
x^2=a &(1)\\
x^2=b &(2)\\
x^2=c &(3)
\end{array}\right.$$

Quan sát đồ thị hàm số $h(x)=x^2$ ta thấy

• Phương trình $(1)$ vô nghiệm.
• Các phương trình $(2),\,(3)$ đều có $2$ nghiệm, các nghiệm này phân biệt nhau.

Vậy phương trình $y'=0$ có $5$ nghiệm phân biệt, tức là hàm số $y=f\big(x^2\big)$ có $5$ điểm cực trị.