Chọn phương án D.

Ta có $f'(x)=\dfrac{8+m^2}{(x+8)^2}>0$, $\forall x\in[0;3]$. Suy ra $f(x)$ đồng biến trên đoạn $[0;3]$.

Do đó $\min\limits_{[0;3]}f(x)=f(0)=-\dfrac{m^2}{8}$.

Theo yêu cầu đề bài thì $$\min\limits_{[0;3]}f(x)=-2\Leftrightarrow -\dfrac{m^2}{8}=-2\Leftrightarrow m=\pm4.$$
Vậy $m=4$ là giá trị lớn nhất trong số các giá trị $m$ thỏa đề.