Chọn phương án C.

Ta có $f'(x)=\dfrac{-1-m}{(x-1)^2}$.

• Với $-1-m>0\Leftrightarrow m<-1$, $f'(x)>0,\,\forall x\in[-1;1]$. Khi đó hàm số đồng biến trên đoạn $[2;4]$ và $$\min\limits_{[2;4]}=f(2)=m+2=3\Leftrightarrow m=1\,(\text{loại})$$
• Với $-1-m<0\Leftrightarrow m>-1$, $f'(x)<0,\,\forall x\in[-1;1]$. Khi đó hàm số nghịch biến trên đoạn $[2;4]$ và $$\min\limits_{[2;4]}=f(4)=\dfrac{m+4}{3}=3\Leftrightarrow m=5\,(\text{nhận})$$

Vậy $m=5$ là giá trị cần tìm.