Chọn phương án A.

Ta có $f'(x)=\dfrac{1-m}{(x+1)^2}$. Suy ra hàm số đơn điệu trên đoạn $[1;2]$.

Do đó $\begin{aligned}[t]
\min\limits_{[1;2]}f(x)+\min\limits_{[1;2]}f(x)&=f(1)+f(2)\\
&=\dfrac{m+1}{2}+\dfrac{m+2}{3}=\dfrac{5m+7}{6}.
\end{aligned}$.

Theo yêu cầu đề bài thì $$\min\limits_{[1;2]}f(x)+\min\limits_{[1;2]}f(x)=\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow\dfrac{5m+7}{6}=\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow m=5.$$