Chọn phương án C.

Đặt $f(x)=\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}$.

Tập xác định: $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

Ta có $f'(x)=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}$.

Cho $f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}
x=2 &\in(1;+\infty)\\ x=0 &\notin(1;+\infty)
\end{array}\right.$

Suy ra giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên khoảng $(1;+\infty)$ là $2$.

Vậy để bất phương trình $\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}\leq m$ có đúng một nghiệm trên khoảng $(1;+\infty)$ thì $m=2$.