Chọn phương án B.

Điều kiện xác định: $x^2+mx+m\neq0$.

Xét phương trình $x^2+mx+m=0$, ta có các trường hợp sau:

• Phương trình có nghiệm kép, tức là $$\Delta=0\Leftrightarrow m^2-4m=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=0\\ m=4\end{array}\right.$$Với $m=0$ thì $f(x)=\dfrac{x+2}{x^2}$ có một tiệm cận đứng $x=0$.
  Với $m=4$ thì $f(x)=\dfrac{x+2}{(x+2)^2}$ có một tiệm cận đứng $x=-2$.
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=-2$ và $x_2\neq-2$, tức là $$\begin{cases}\Delta>0\\ (-2)^2-2m+m=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}m^2-4m>0\\ 4-m=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\left[\begin{array}{l}m<0\\ m>4\end{array}\right.\\ m=4 &\text{(loại)}\end{cases}$$

Vậy với $m\in\{0;4\}$ thì đồ thị hàm số $f(x)$ có đúng một tiệm cận đứng.