Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(\mathscr{C})\colon x^2+y^2-4x-2y=0$. Phép quay tâm $I$ góc $\dfrac{\pi}{4}$ biến $(\mathscr{C})$ thành chính nó. Tìm tọa độ tâm quay $I$.
 | $I(0;0)$ |
 | $I(2;1)$ |
 | $I(1;2)$ |
 | $I(1;1)$ |
Chọn phương án B.
Ta có $\mathrm{Q}_{\left(I,\tfrac{\pi}{4}\right)}\colon\begin{cases}x'=(x-a)\cos\dfrac{\pi}{4}-(y-b)\sin\dfrac{\pi}{4}+a\\ y'=(x-a)\sin\dfrac{\pi}{4}+(y-b)\cos\dfrac{\pi}{4}+b\end{cases}$
Theo đề bài, phép quay $\mathrm{Q}_{\left(I,\tfrac{\pi}{4}\right)}$ biến đường tròn $(\mathscr{C})$ tâm $A(2;1)$ bán kính $R=\sqrt{5}$ thành đường tròn $(\mathscr{C})$ tâm $A(2;1)$ bán kính $R=\sqrt{5}$, do đó $$\begin{aligned}
\begin{cases}2=\dfrac{2-a}{\sqrt{2}}-\dfrac{1-b}{\sqrt{2}}+a\\ 1=\dfrac{2-a}{\sqrt{2}}+\dfrac{1-b}{\sqrt{2}}+b\end{cases}&\Leftrightarrow\begin{cases}
\left(\sqrt{2}-1\right)a+b=2\sqrt{2}-1\\
-a+\left(\sqrt{2}-1\right)b=\sqrt{2}-3
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
a=2\\ b=1
\end{cases}\Rightarrow I(2;1).
\end{aligned}$$
- Phép quay tâm $O(0;0)$ góc $\alpha$: $$\begin{cases}x'=x\cos\alpha-y\sin\alpha\\ y'=x\sin\alpha+y\cos\alpha\end{cases}$$
- Phép quay tâm $I(a;b)$ góc $\alpha$: $$\begin{cases}x'=(x-a)\cos\alpha-(y-b)\sin\alpha+a\\ y'=(x-a)\sin\alpha+(y-b)\cos\alpha+b\end{cases}$$