Chọn phương án A.

Xét hàm số \(y=f(x)=x^3+2x+1\), ta thấy:

• \(f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\).
• \(f'(x)=3x^2+2>0,\,\forall x\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), nên đồng biến trên đoạn \([1;2]\).
\(\Rightarrow f(x)\geq f(1)=3,\,\forall x\in[1;2]\).

Suy ra $$\begin{aligned}S&=\displaystyle\int\limits_1^2\left|x^3+2x+1\right|\mathrm{\,d}x\\
&=\displaystyle\int\limits_1^2\left(x^3+2x+1\right)\mathrm{\,d}x\\
&=\left(\dfrac{x^4}{4}+x^2+x\right)\bigg|_1^2\\
&=\dfrac{31}{4}.\end{aligned}$$