Chọn phương án A.

Chia hai vế của phương trình cho $2$ ta được
\begin{eqnarray*}
&\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x&=1\\
\Leftrightarrow&\sin x\cos\dfrac{\pi}{3}-\cos x\sin\dfrac{\pi}{3}&=1\\
\Leftrightarrow&\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)&=1\\
\Leftrightarrow&x-\dfrac{\pi}{3}&=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\
\Leftrightarrow&x&=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi,\,k\in\mathbb{Z}.
\end{eqnarray*}
Với $x\in(0;5\pi)$ ta có $$\begin{aligned}
0<\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi<5\pi&\Leftrightarrow-\dfrac{5\pi}{6}<k2\pi<\dfrac{25\pi}{6}\\
&\Leftrightarrow-\dfrac{5}{12}<k<\dfrac{25}{12}.
\end{aligned}$$
Vì $k\in\mathbb{Z}$ nên $k\in\{0;1;2\}$, tức là phương trình có $3$ nghiệm trên khoảng $(0;5\pi)$.