Chọn phương án A.

a) Tứ giác $MNPQ$ là hình gì?

Theo đề bài thì $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$ và $MN\parallel AB$.

Do đó giao tuyến $PQ$ của $(MNPQ)$ với $(ABD)$ là đường thẳng song song với $AB$.

Vậy tứ giác $ABCD$ là hình thang.

b) Tìm tập hợp giao điểm $I$ của $MQ$ và $NP$ khi $P$ di động trên đoạn $BD$.

Với $I=MQ\cap NP$ thì $$\begin{cases}
I\in MQ\\ I\in NP
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
I\in(ACD)\\ I\in(BCD)
\end{cases}\Rightarrow I\in CD.$$
Vậy tập hợp điểm $I$ là đường thẳng $CD$.