Chọn phương án D.

Xét hàm số $g(x)=x^4-4x^3+4x^2+a$.

Ta có $g'(x)=4x^3-12x^2+8x$.

Cho $g'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=2.\end{array}\right.$

Với $M=\max\limits_{[0;2]}\big|g(x)\big|$ và $m=\min\limits_{[0;2]}\big|g(x)\big|$ ta có các trường hợp sau:

• Với $a\geq0$ ta có $\begin{cases}M=a+1\\ m=a.\end{cases}$
  Khi đó $M\leq2m\Leftrightarrow a+1\leq2a\Leftrightarrow a\geq1$.
  Vì $a$ nguyên và thuộc đoạn $[-3;2]$ nên $a\in\{1;2\}$.
• Với $a+1\leq0\Leftrightarrow a\leq-1$ ta có $\begin{cases}M=-a\\ m=-a-1.\end{cases}$
  Khi đó $M\leq2m\Leftrightarrow-a\leq-2a-2\Leftrightarrow a\leq-2$.
  Vì $a$ nguyên và thuộc đoạn $[-3;2]$ nên $a\in\{-3;-2\}$.
• Với $-1<a<0$ ta có $m=0$.
  Khi đó $M\leq2m\Leftrightarrow M\leq0\Leftrightarrow M=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}m=0 &\text{(loại)}\\ m=-1 &\text{(loại)}\end{array}\right.$.

Vậy có $4$ giá trị của $a$ thỏa đề.