Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng $3$ lần đường kính của đáy; một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón sao cho đỉnh khối nón nằm trên mặt cầu (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài.
Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).
 | $\dfrac{1}{2}$ |
 | $\dfrac{2}{3}$ |
 | $\dfrac{4}{9}$ |
 | $\dfrac{5}{9}$ |
Chọn phương án D.
Gọi $x$ là bán kính của đáy cốc. Theo đề bài ta có
- Chiều cao của cốc là $h=3\cdot2x=6x$
$\Rightarrow$ Thể tích của cốc là $V=\pi x^2\cdot6x=6\pi x^3$. - Thể tích viên bi là $V_1=\dfrac{4}{3}\pi x^3$.
- Khối nón có chiều cao $h_2=h-2x=4x$
$\Rightarrow$ Thể tích khối nón là $V_2=\dfrac{1}{3}\pi x^2\cdot4x=\dfrac{4}{3}\pi x^3$
Thể tích của lượng nước tràn ra chính bằng tổng thể tích của viên bi và khối nón, tức là $$V_1+V_2=\dfrac{4}{3}\pi x^3+\dfrac{4}{3}\pi x^3=\dfrac{8}{3}\pi x^3.$$
Lượng nước còn lại là $6\pi x^3-\dfrac{8}{3}\pi x^3=\dfrac{10}{3}\pi x^3$.
Vậy tỉ số giữa lượng nước còn lại và lượng nước ban đầu là $$\dfrac{\dfrac{10}{3}\pi x^3}{6\pi x^3}=\dfrac{10}{18}=\dfrac{5}{9}.$$