Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AB$. Theo đề bài thì $SH\perp(ABCD)$, tức là $SH$ là đường cao của hình chóp.

• $\triangle HAD$ vuông tại $A$ nên $$HD^2=HA^2+AD^2=\dfrac{a^2}{4}+a^2=\dfrac{5a^2}{4}.$$
• $\triangle SHD$ vuông tại $H$ nên $$SH=\sqrt{SD^2-HD^2}=\sqrt{\dfrac{9a^2}{4}-\dfrac{5a^2}{4}}=a.$$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $$V=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SH=\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot a=\dfrac{a^3}{3}.$$