Hệ số của $x^6$ trong khai triển $\left(\dfrac{1}{x}+x^3\right)^{3n+1}$ với $x\neq0$, biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $3\mathrm{C}_{n+1}^2+n\mathrm{P}_2=4\mathrm{A}_n^2$ là
 | $120$ |
 | $210$ |
 | $210x^6$ |
 | $120x^6$ |
Chọn phương án B.
$\begin{array}{lll}
&3\mathrm{C}_{n+1}^2+n\mathrm{P}_2&=4\mathrm{A}_n^2\\
\Leftrightarrow&\dfrac{3(n+1)!}{2!(n+1-2)!}+n\cdot2!&=\dfrac{4n!}{(n-2)!}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{3(n+1)n(n-1)!}{2(n-1)!}+2n&=\dfrac{4n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{3n(n+1)}{2}+2n&=4n(n-1)\\
\Leftrightarrow&3n(n+1)+4n&=8n(n-1)\\
\Leftrightarrow&5n^2-15n&=0.
\end{array}$
Vì $n\in\mathbb{N}^*$ nên $n=3$.
Khi đó nhị thức đã cho trở thành $\left(\dfrac{1}{x}+x^3\right)^{10}$.
Số hạng tổng quát: $$\mathrm{C}_{10}^k\left(\dfrac{1}{x}\right)^{10-k}\cdot\big(x^3\big)^k=\mathrm{C}_{10}^kx^{k-10}\cdot x^{3k}=\mathrm{C}_{10}^kx^{4k-10}.$$
Hệ số của $x^6$ ứng với $4k-10=6\Leftrightarrow k=4$.
Vậy hệ số cần tìm là $\mathrm{C}_{10}^4=210$.