Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\colon\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{1}\), mặt phẳng \((P)\colon x+y-2z+5=0\) và điểm \(A(1;-1;2)\). Đường thẳng \(\Delta\) cắt \(d\) và \((P)\) lần lượt tại \(M\) và \(N\) sao cho \(A\) là trung điểm của \(MN\). Một vectơ chỉ phương của \(\Delta\) là
 | \(\vec{u}=(2;3;2)\) |
 | \(\vec{u}=(1;-1;2)\) |
 | \(\vec{u}=(-3;5;1)\) |
 | \(\vec{u}=(4;5;-13)\) |
Chọn phương án A.
Ta có \(d\colon\begin{cases}x=-1+2t\\ y=t\\ z=2+t\end{cases}.\)
Vì \(M=\Delta\cap d\) nên \(M\in d\), suy ra \(M(-1+2t;t;2+t)\).
Lại vì \(A(1;-1;2)\) là trung điểm của \(MN\) nên $$\begin{aligned}
&\,\begin{cases}x_M+x_N=2x_A\\ y_M+y_N=2y_A\\ z_M+z_N=2z_A\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\,\begin{cases}x_N=2x_A-x_M=3-2t\\ y_N=2y_A-y_N=-2-t\\ z_N=2z_A-z_M=2-t\end{cases}
\end{aligned}$$Ta lại có \(N=\Delta\cap(P)\) nên \(N\in(P)\).
Thay \(x=3-2t\), \(y=-2-t\), \(z=2-t\) vào phương trình \(x+y-2z+5=0\) ta được \(t=2\).
Từ đó suy ra \(M(3;2;4)\).
Do đó, \(\Delta\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AM}=(2;3;2)\).