Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=2a$. Góc giữa đường thẳng $BC'$ và mặt phẳng $(ACC'A')$ bằng $30^\circ$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
 | $3a^3$ |
 | $a^3$ |
 | $12\sqrt{2}a^3$ |
 | $4\sqrt{2}a^3$ |
Chọn phương án D.
Vì $BA\perp(ACC'A')$ nên $AC'$ là hình chiếu vuông góc của $BC'$ lên mặt phẳng $(ACC'A')$.
Do đó $\big(BC',(ACC'A')\big)=\big(BC',AC'\big)=\widehat{BC'A}=30^\circ$.
Tam giác $ABC'$ vuông tại $A$, có $\widehat{BC'A}=30^\circ$ nên $$\tan\widehat{BC'A}=\dfrac{AB}{AC'}\Rightarrow AC'=\dfrac{AB}{\tan\widehat{BC'A}}=\dfrac{2a}{\tan30^\circ}=2a\sqrt{3}.$$
Tam giác $ACC'$ vuông tại $C$ nên $$CC'=\sqrt{AC'^2-AC^2}=\sqrt{\left(2a\sqrt{3}\right)^2-(2a)^2}=2a\sqrt{2}.$$
Vậy khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $$V=S_{ABC}.CC'=\dfrac{(2a)^2}{2}\cdot2a\sqrt{2}=4\sqrt{2a^3}.$$