Chọn phương án A.

Gọi $B$ là hình chiếu của điểm $A$ trên đường thẳng $\Delta$. Khi đó $B(2+t;1-2t;2t)$, suy ra $\overrightarrow{AB}=(3+t;-2t;2t-6)$.

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-2;2)$.

Vì $AB\perp\Delta$ nên $$\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{u}&\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{u}=0\\ &\Leftrightarrow(3+t)-2(-2t)+2(2t-6)=0\\ &\Leftrightarrow9t-9=0\\ &\Leftrightarrow t=1.\end{aligned}$$

Vậy $B(3;-1;2)$.

Chọn phương án A.

Đường thẳng \(\Delta\) có vectơ chỉ phương là \(\vec{u}=(1;-2;2)\).

Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\Delta\). Khi đó, giao điểm của \((P)\) và \(\Delta\) chính là hình chiếu cần tìm.

Vì \((P)\bot\Delta\) nên \(\vec{u}\) cũng là vectơ pháp tuyến của \((P)\).

Ta có: $$\begin{aligned}(P)\colon&\,(x+1)-2(y-1)+2(z-6)=0\\
\Leftrightarrow&\,x-2y+2z-9=0.\end{aligned}$$

Thay \(x=2+t\), \(y=1-2t\), \(z=2t\) vào phương trình \(x-2y+2z-9=0\) ta được \(t=1\).

Từ đó suy ra hình chiếu cần tìm là điểm \(M(3;-1;2)\).