Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$. Biết diện tích tứ giác $ABCD$ bằng ba lần diện tích tam giác $SAB$. Tính thể tích khối chóp đã cho.
 | $\dfrac{a^3\sqrt{7}}{9}$ |
 | $\dfrac{a^3\sqrt{7}}{6}$ |
 | $\dfrac{a^3\sqrt{7}}{12}$ |
 | $\dfrac{a^3\sqrt{7}}{18}$ |
Chọn phương án D.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AB$ và $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.
Vì $\triangle SAB$ cân tại $S$ nên $S_{SAB}=\dfrac{1}{2}AB\cdot SH=\dfrac{a}{2}\cdot SH$.
Theo đề bài thì $$\begin{aligned}
S_{ABCD}=3S_{SAB}&\Leftrightarrow a^2=\dfrac{3a}{2}\cdot SH\\
&\Leftrightarrow SH=\dfrac{2a}{3}.
\end{aligned}$$
Trong tam giác vuông $SOH$ ta có $$SO=\sqrt{SH^2-OH^2}=\sqrt{\dfrac{4a^2}{9}-\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{6}.$$
Vậy $V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO=\dfrac{1}{3}a^2\cdot\dfrac{a\sqrt{7}}{6}=\dfrac{a^3\sqrt{7}}{18}$.
Chọn phương án D.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AB$ và $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.
Vì $SAB$ và $OAB$ là các tam giác cân có chung cạnh đáy $AB$ nên $SH\perp AB$ và $OH\perp AB$.
Suy ra $\big((SAB),(OAB)\big)=(SH,OH)=\widehat{SHO}$.
Suy ra $\cos\widehat{SHO}=\dfrac{S_{OAB}}{S_{SAB}}=\dfrac{\dfrac{1}{4}S_{ABCD}}{S_{SAB}}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\cdot3S_{SAB}}{S_{SAB}}=\dfrac{3}{4}$.
Khi đó $\tan^2\widehat{SHO}=\dfrac{1}{\cos^2\widehat{SHO}}-1=\dfrac{7}{9}$.
Suy ra $\tan\widehat{SHO}=\dfrac{\sqrt{7}}{3}$.
Trong tam giác vuông $SOH$ ta có $$\begin{aligned}
\tan\widehat{SHO}=\dfrac{SO}{OH}\Rightarrow SO&=OH\cdot\tan\widehat{SHO}\\
&=\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{3}=\dfrac{a\sqrt{7}}{6}.
\end{aligned}$$
Vậy $V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO=\dfrac{1}{3}a^2\cdot\dfrac{a\sqrt{7}}{6}=\dfrac{a^3\sqrt{7}}{18}$.