Ngân hàng bài tập
S
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=3$, $AD=4$. Biết đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc tạo bởi đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
 | $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ |
 | $\dfrac{5}{2}$ |
 | $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ |
 | $\dfrac{5}{3}$ |
1 lời giải
Chọn phương án A.
Gọi $O,\,H$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $SC$.
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $OA=OB=OC=OD$.
Vì $OH$ là đường trung bình $\triangle SAC$ và $SA\perp(ABCD)$ nên $HO\perp(ABCD)$.
Suy ra $HA=HB=HC=HD=HS$. Nói cách khác, $H$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ với bán kính $R=HC=\dfrac{SC}{2}$.
Tam giác $SAC$ vuông tại $A$, có góc $\widehat{SCA}=45^\circ$ nên vuông cân tại $A$.
Suy ra $SC=AC\cdot\sqrt{2}=\sqrt{3^2+4^2}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.
Vậy bán kính $R=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.