Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\colon\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{-1}\) và hai điểm \(A(-1;3;1)\), \(B(0;2;-1)\). Gọi \(C(m;n;p)\) là điểm thuộc \(d\) sao cho diện tích của tam giác \(ABC\) bằng \(2\sqrt{2}\). Giá trị của \(T=m+n+p\) bằng
 | \(T=0\) |
 | \(T=-1\) |
 | \(T=-2\) |
 | \(T=3\) |
Chọn phương án D.
Ta có \(d\colon\begin{cases}x=-1+2t\\ y=t\\ z=2-t.\end{cases}\)
Vì \(C\in d\) nên \(C(-1+2t;t;2-t)\).
Ta có \(\begin{cases}
\overrightarrow{AB}=(1;-1;-2)\\
\overrightarrow{AC}=(2t;t-3;1-t).
\end{cases}\)
Khi đó, \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(-7+3t;-1-3t;-3+3t)\).
Theo đề ta có: $$\begin{eqnarray*}
&S_{ABC}&=2\sqrt{2}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\right|&=2\sqrt{2}\\
\Leftrightarrow&\sqrt{(-7+3t)^2+(-1-3t)^2+(-3+3t)^2}&=4\sqrt{2}\\
\Leftrightarrow&(-7+3t)^2+(-1-3t)^2+(-3+3t)^2&=32\\
\Leftrightarrow&27t^2-54t+27&=0\\
\Leftrightarrow&t&=1
\end{eqnarray*}$$
Từ đó suy ra \(C(1;1;1)\). Do đó, \(m=n=p=1\).
Vậy \(T=m+n+p=3\).