Chọn phương án D.

Xét phương trình $x^2+mx+2=0$ (1), ta có các trường hợp sau:

• $x=2$ không phải nghiệm của (1), tức là $2^2+2m+2\neq0\Leftrightarrow m\neq-3$, khi đó $\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x^2+mx+2}{x-2}=\pm\infty$ (loại).
• $x=2$ là nghiệm của (1), tức là $2^2+2m+2=0\Leftrightarrow m=-3$, khi đó $$\begin{aligned}\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}&=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{(x-2)(x-1)}{x-2}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow2}(x-1)=1.\end{aligned}$$

Vậy $m=3$ là giá trị cần tìm.