Ngân hàng bài tập
SS
Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\log_3\dfrac{x^2-16}{343}< \log_7\dfrac{x^2-16}{27}$?
 | $193$ |
 | $92$ |
 | $186$ |
 | $184$ |
1 lời giải
Chọn phương án D.
Điều kiện: $x^2-16>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x<-4\\ x>4\end{array}\right.$ (1).
Đặt $t=\log_7\dfrac{x^2-16}{27}$ ta có $$7^t=\dfrac{x^2-16}{27}\Leftrightarrow27\cdot7^t=x^2-16.$$
Bất phương trình đã cho tương đương với $$\begin{aligned}
\log_3\dfrac{x^2-16}{343}< t&\Leftrightarrow\dfrac{x^2-16}{343}<3^t\\
&\Leftrightarrow x^2-16<343\cdot3^t\\
&\Leftrightarrow27\cdot7^t<343\cdot3^t\\
&\Leftrightarrow27\cdot7^t<343\cdot3^t\\
&\Leftrightarrow\dfrac{7^t}{3^t}<\dfrac{343}{27}\\
&\Leftrightarrow\left(\dfrac{7}{3}\right)^t<\left(\dfrac{7}{3}\right)^3\\
&\Leftrightarrow t<3.
\end{aligned}$$
\log_3\dfrac{x^2-16}{343}< t&\Leftrightarrow\dfrac{x^2-16}{343}<3^t\\
&\Leftrightarrow x^2-16<343\cdot3^t\\
&\Leftrightarrow27\cdot7^t<343\cdot3^t\\
&\Leftrightarrow27\cdot7^t<343\cdot3^t\\
&\Leftrightarrow\dfrac{7^t}{3^t}<\dfrac{343}{27}\\
&\Leftrightarrow\left(\dfrac{7}{3}\right)^t<\left(\dfrac{7}{3}\right)^3\\
&\Leftrightarrow t<3.
\end{aligned}$$
Khi đó $x^2-16=27\cdot7^t<27\cdot7^3\Leftrightarrow x^2-9277<0$.
Tập nghiệm của bất phương trình là $\big(-\sqrt{9277};\sqrt{9277}\big)$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $x\in\big(-\sqrt{9277};-4\big)\cup\big(4;\sqrt{9277}\big)$.
Vì $x$ nguyên nên $x\in\{-96;-95;\ldots;-5;5;\ldots;95;96\}$, tức là có $184$ số.