Chọn phương án C.

Áp dụng bất đẳng thức $\big|z_1+z_2\big|\geq\big||z_1|-|z_2|\big|$ ta có $$\begin{array}{lcl}
&\big|z^2-3-4i\big|=\big|z^2+(-3-4i)\big|&\geq\left|\big|z^2\big|-|-3-4i|\right|\\
\Leftrightarrow&2|z|&\geq\left|\big|z^2\big|-5\right|\\
\Leftrightarrow&2|z|&\geq\big||z|^2-5\big|\\
\Leftrightarrow&4|z|^2&\geq\big(|z|^2-5\big)^2\\
\Leftrightarrow&|z|^4-14|z|^2+25&\leq0.
\end{array}$$
Đặt $t=|z|^2\geq0$ ta có bất phương trình $$\begin{aligned}
t^2-14t+25\leq0&\Leftrightarrow7-2\sqrt{6}\leq t\leq7+2\sqrt{6}\\
&\Leftrightarrow7-2\sqrt{6}\leq|z|^2\leq7+2\sqrt{6}\\
&\Leftrightarrow\sqrt{6}-1\leq|z|\leq\sqrt{6}+1.
\end{aligned}$$
Vậy $\begin{cases}
M=\sqrt{6}+1\\ m=\sqrt{6}-1
\end{cases}$. Suy ra $M^2+m^2=14$.