Ngân hàng bài tập
SSS
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x)+xf'(x)=4x^3+4x+2$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ và $y=f'(x)$ bằng
 | $\dfrac{5}{2}$ |
 | $\dfrac{4}{3}$ |
 | $\dfrac{1}{2}$ |
 | $\dfrac{1}{4}$ |
1 lời giải
Chọn phương án C.
$\begin{array}{cccc}
&f(x)+xf'(x)&=&4x^3+4x+2\\
\Leftrightarrow&x'\cdot f(x)+xf'(x)&=&\big(x^4+2x^2+2x\big)'\\
\Leftrightarrow&\big[xf(x)\big]'&=&\big(x^4+2x^2+2x\big)'\\
\Leftrightarrow& xf(x)&=&x^4+2x^2+2x+C\\
\Leftrightarrow& f(x)&=&x^3+2x+2+\dfrac{C}{x}.
\end{array}$
Vì $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ nên cũng liên tục trên $\mathbb{R}$. Do đó $C$ phải bằng $0$.
Vậy $f(x)=x^3+2x+2$. Suy ra $f'(x)=3x^2+2$.
Phương trình hoành độ giao điểm: $$f(x)=f'(x)\Leftrightarrow x^3-3x^2+2x=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}\right.$$
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là $$S=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\big|f(x)-f'(x)\big|\mathrm{\,d}x=\int\limits_{0}^{2}\big|x^3-3x^2+2x\big|\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2}.$$