Chọn phương án C.

Ta có $\Delta'=(m+1)^2-m^2=2m+1$.

• Trường hợp $\Delta'>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{2}$: Vì $a\cdot c=m^2\geq0$ nên phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
  Khi đó $\begin{aligned}[t] \big|z_1\big|+\big|z_2\big|&=\big|z_1+z_2\big|\\ &=\big|2(m+1)\big|=2\\ \Leftrightarrow|m+1|=1&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}m=0 &\text{(nhận)}\\ m=-2 &\text{(loại)}\end{array}\right.\end{aligned}$
• Trường hợp $\Delta'<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{1}{2}$: Vì $\big|z_1\big|=\big|z_2\big|$ nên suy ra $\big|z_1\big|=1$.
  Vì $z_1\cdot z_2=\dfrac{c}{a}=m^2$ nên $\big|z_1\cdot z_2\big|=m^2$ hay $\big|z_1\big|^2=m^2$. Suy ra $m=\pm1$.
  Vì $m<-\dfrac{1}{2}$ nên chọn $m=-1$.

Vậy có $2$ giá trị $m$ thỏa đề.