Chọn phương án B.

Điều kiện: $x>0$.

$\begin{array}{cccc}
&\log_3\big(x^2+y^2+x\big)+\log_2\big(x^2+y^2\big)&\leq&\log_3x+\log_2\big(x^2+y^2+24x\big)\\
\Leftrightarrow&\log_3\big(x^2+y^2+x\big)-\log_3x&\leq&\log_2\big(x^2+y^2+24x\big)-\log_2\big(x^2+y^2\big)\\
\Leftrightarrow&\log_3\dfrac{x^2+y^2+x}{x}&\leq&\log_2\dfrac{x^2+y^2+24x}{x^2+y^2}\\
\Leftrightarrow&\log_3\left(1+\dfrac{x^2+y^2}{x}\right)&\leq&\log_2\left(1+\dfrac{24x}{x^2+y^2}\right)\,\,(1)
\end{array}$

Bất phương trình (1) trở thành $$\begin{array}{cccc}
&t&\leq&\log_2\left(1+\dfrac{24}{3^t-1}\right)\\
\Leftrightarrow&2^t&\leq&1+\dfrac{24}{3^t-1}\\
\Leftrightarrow&6^t-2^2-3^t&\leq&23\,\,(2)
\end{array}$$
Mặt khác, vì $f(2)=6^2-2^2-3^2=23$ nên bất phương trình (2) tương đương với $f(t)\leq f(2)$ hay $t\leq2$. Khi đó $$\begin{array}{lll}
&\log_3\left(1+\dfrac{x^2+y^2}{x}\right)&\leq2\\
\Leftrightarrow&1+\dfrac{x^2+y^2}{x}&\leq3^2\\
\Leftrightarrow&\dfrac{x^2+y^2}{x}&\leq8\\
\Leftrightarrow&x^2-8x+y^2&\leq0\\
\Leftrightarrow&(x-4)^2+y^2&\leq16.
\end{array}$$
Đây là phương trình của hình tròn tâm $I(4;0)$, bán kính $R=4$.

Vì $0<x\leq8$ và $x,y$ nguyên nên ta có các trường hợp sau:

• $x=1\Rightarrow y\in\{-2;-1;0;1;2\}$: có $5$ cặp $(x;y)$;
• $x=2\Rightarrow y\in\{-3;\ldots;3\}$: có $7$ cặp $(x;y)$;
• $x=3\Rightarrow y\in\{-3;\ldots;3\}$: có $7$ cặp $(x;y)$;
• $x=4\Rightarrow y\in\{-4;\ldots;4\}$: có $9$ cặp $(x;y)$;
• $x=5\Rightarrow y\in\{-3;\ldots;3\}$: có $7$ cặp $(x;y)$;
• $x=6\Rightarrow y\in\{-3;\ldots;3\}$: có $7$ cặp $(x;y)$;
• $x=7\Rightarrow y\in\{-2;-1;0;1;2\}$: có $5$ cặp $(x;y)$;
• $x=8\Rightarrow y=0$: có $1$ cặp $(x;y)$;

Vậy có $48$ cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa đề.