Chọn phương án B.

Xét hàm số $f(x)=x^3+(a+2)x+9-a^2$.
Ta có $f'(x)=3x^2+a+2$.

Để hàm số $y=\big|f(x)\big|$ đồng biến trên khoảng $(0;1)$, ta có 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: $f(x)$ đồng biến trên $(0;1)$ và $f(0)\geq0$. Ta có $$\begin{aligned}
\begin{cases}
f'(x)\geq0,\,\forall x\in(0;1)\\
f(0)\geq0
\end{cases}&\Leftrightarrow\begin{cases}
3x^2+a+2\geq0,\,\forall x\in(0;1)\\
9-a^2\geq0
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
a\geq-3x^2-2,\,\forall x\in(0;1)\\
a\in[-3;3]
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
a\geq\max\limits_{(0;1)}\big(-3x^2-2\big)\\
a\in[-3;3]
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
a\geq-2\\
a\in[-3;3]
\end{cases}
\end{aligned}$$Vì $a$ nguyên nên $a\in\{-2;-1;0;1;2;3\}$.

Trường hợp 2: $f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$ và $f(0)\leq0$. Ta có $$\begin{aligned}
\begin{cases}
f'(x)\leq0,\,\forall x\in(0;1)\\
f(0)\leq0
\end{cases}&\Leftrightarrow\begin{cases}
3x^2+a+2\leq0,\,\forall x\in(0;1)\\
9-a^2\leq0
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
a\leq-3x^2-2,\,\forall x\in(0;1)\\
a\in(-\infty;-3]\cup[3;+\infty)
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
a\leq\min\limits_{(0;1)}\big(-3x^2-2\big)\\
a\in(-\infty;-3]\cup[3;+\infty)
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
a\leq-5\\
a\in(-\infty;-3]\cup[3;+\infty)
\end{cases}
\end{aligned}$$Vì $a$ nguyên và $a\in(-10;+\infty)$ nên $a\in\{-9;-8;-7;-6;-5\}$.

Vậy có $11$ giá trị nguyên của $a$ thỏa đề.