Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;2;3)$, $A(2;4;4)$ và hai mặt phẳng $(P)\colon x+y-2z+1=0$, $(Q)\colon x-2y-z+4=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$, cắt $(P)$, $(Q)$ lần lượt tại $B,\,C$ sao cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và nhận $AM$ làm đường trung tuyến.
 | $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
 | $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
 | $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$ |
 | $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
Chọn phương án B.
Giả sử điểm $B\big(x_0;y_0;z_0\big)$. Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên
$$\begin{cases}
x_0+x_C=2x_M=2\\ y_0+y_C=2y_M=4\\ z_0+z_C=2z_M=6
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
x_C=2-x_0\\ y_C=4-y_0\\ z_C=6-z_0.
\end{cases}$$
Khi đó, $\overrightarrow{MA}=(1;2;1)$ và $\overrightarrow{CB}=\big(2x_0-2;2y_0-4;2z_0-6\big)$.
$$\begin{aligned}
\begin{cases}
B\in(P)\\ C\in(Q)\\ AM\perp CB
\end{cases}&\Leftrightarrow\begin{cases}
x_0+y_0-2z_0+1=0\\ \big(2-x_0\big)-2\big(4-y_0\big)-\big(6-z_0\big)+4=0\\ 1\big(2x_0-2\big)+2\big(2y_0-4\big)+1\big(2z_0-6\big)=0
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
x_0+y_0-2z_0&=-1\\ -x_0+2y_0+z_0&=8\\ 2x_0+4y_0+2z_0&=16
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
x_0=0\\ y_0=3\\ z_0=2
\end{cases}
\end{aligned}$$
Suy ra $\overrightarrow{CB}=(-2;2;-2)$.
Vậy đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(1;2;3)$ và nhận $\overrightarrow{u}=(1;-1;1)$ làm vectơ chỉ phương.
Ta được phương trình $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$.